【原创】千奇百怪话分形——分形，混沌与非线性系统 [ 安德的游戏 ] 于:2007-02-28 13:11:35
分形，混沌与非线性动力学是经常混在一起说的概念。其实从严格意义上来说，非线性动力学描述了一个耗散系统，比如说天气的变化，而一个耗散系统有可能收敛，有可能发散，也有可能既不收敛也不发散，而是在一定的范围内呈现一种不规则的震荡。这时候就出现了混沌。而当把出现混沌状态的系统图形化了以后，往往会出现分形图形的特征。所以，这三者既有联系，又有区别。不过既然讲到了分形，那么就不得不涉及到一些关于混沌的东西。
说到混沌，就一定要提到洛仑兹吸引子。洛仑兹生于1917年（嗯，老先生已经90高龄了），是美国的数学家和气象学家，目前在MIT。他在上个世纪五十年代末六十年代初研究长期气象预报的时候，用计算机进行模拟，结果发现，初始状态的微小差异会在一定时间以后对状态产生非常大的影响。这个发现后来被表达成著名的“蝴蝶效应”：南美的一只蝴蝶扇一下翅膀会在美国引起一场飓风。其实关于蝴蝶效应的表达方式有很多种，大部分都是差不多的意思，我这里只是找了一种比较常见的说法。2004年还拍过一个以此命名的影片。
基本上，这个效应揭示了我们的世界是呈发散性的。以天气预报为例，对于初始状态，如温度，湿度，风速等测量的微小差异，随着系统的演化，预测值和实际值的差异会逐渐变大。即使测量得足够精确，测量的点也不可能做到无限密集。这样局部的不确定性很快就会影响到全局。所以，从理论上来说，长期的准确天气预报是不可能做到的。
一般来说，天气系统的模型是包含几十到上百个参数的偏微分方程，要用大型计算机经过大量的计算才能推导出系统的演化来。而洛仑兹把这个系统简化成只包含三个参数，依然保持混沌的特性。这三个方程是这样的：
dx/dt=σ(y-x)
dy/dt=x(ρ-z)-y
dz/dt=xy-βz
这里面σ，ρ和β可以取任意大于0的数，是决定系统特性的常数。常用的组合是σ=10，β=8/3，而ρ的值就决定了系统是稳定收敛的还是混沌的。当ρ取小于28的数值的时候，系统会收敛，下面的图是ρ取14的时候系统随时间演变的曲线。因为状态量x，y，z有三个，所以状态空间是三维的。这里画的是在x-z平面上的投影。

很明显系统会逐渐收敛到一个稳定的点上。因为曲线的样子很像是被一个点所逐渐吸引过去的，所以叫做吸引子。这张图反映的是一个一般的吸引子。
当ρ的值取大于28的时候，系统会呈现混沌的状态，这时候会出现所谓的奇异吸引子。系统的演变不再是趋于稳定，而是围绕着两个中心点不停地变化。下面这张图显示了当ρ取32的时候系统的变化。仿照三视图的做法，这里给出了在x-z，x-y和y-z平面上的投影。其中左下图是在x-y平面上的投影，一般画洛仑兹吸引子的时候，大多给的是这张图。而左上方的是在x-z平面上的投影，形状看起来很象是一只展翅的蝴蝶。也有说法说“蝴蝶效应”的命名是起源于这张图。

下面这张图，显示了初值的选择对于系统变化的影响。蓝色和红色的曲线唯一的差异是x的初值一个取10，一个取10.1。红色箭头指出的位置是初始点。经过一段时间的演化以后，绿色箭头表示出系统的状态。可以看到状态已经差很多了。如果系统继续演化下去，二者的差异会变得越来越大，以至于完全无关。

其实这些图画起来很简单，比曼德尔布诺特集画起来要容易得多。我把Matlab的程序给出来，有兴趣的人可以自己改变参数和初始状态试试看。
close all
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x0=10;
y0=15;
z0=20;
N=5000;
step=0.01;
sigma=10;
beta=8/3;
rou=32;
state(1,1)=x0;
state(1,2)=y0;
state(1,3)=z0;
for i=2:N
   x=state(i-1,1);
   y=state(i-1,2);
   z=state(i-1,3);
   deltax=sigma*(y-x);
   deltay=x*(rou-z)-y;
   deltaz=x*y-beta*z;
   state(i,1)=x+deltax*step;
   state(i,2)=y+deltay*step;
   state(i,3)=z+deltaz*step;
end
subplot(2,2,1);
plot(state(:,1),state(:,3));
subplot(2,2,3);
plot(state(:,1),state(:,2));
subplot(2,2,4);
plot(state(:,2),state(:,3));

关于混沌与非线性系统的东西讲下去还有很多。不过我们这里说的是分形，所以就到这里为止吧。

关键词(Tags): 分形 混沌 非线性系统 洛仑兹吸引子
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