【原创】千奇百怪话分形——无穷小和无穷大 [ 安德的游戏 ] 于:2007-02-02 16:25:50
前面说了分形的维数计算。这样计算出来的分形的维数，一般都是一个小数而不是整数。于是，这样的分形图形就会在它下方的维度上呈现出无穷大的特征，而在其上方的维度上呈现出无穷小的特征。（多说一句，因为我们讨论的分形几何特征，比如面积，体积等没有负数，所以这里无穷小是指得无限趋近于零）
我们以科赫曲线作为例子。科赫曲线的维数是1.26。显然，一条没有宽度的线是没有面积的，所以在二维的度量上，科赫曲线没有面积。但是长度呢？我们假设以原来初始线段的长度为1，那经过第一次变换以后，我们得到的折线长度是4/3。经过第二次变换以后，每一小段的长度都变成原来的4/3，所以总长度是4/3x4/3=16/9。以此类推，经过n次变换以后，长度就变成了(4/3)^n。那么经过无穷多次变换，科赫曲线的总长度就是lim n→∞(4/3)^n=∞。（这个数学公式的功能还是很重要的，怎么打得就这么别扭呢）。所以，我们知道了，科赫曲线的长度是无穷的。
回到曼德尔布诺特的论文《英国的海岸线有多长》，他在论文里面就提出了这样一个观点，海岸线的长度，跟你用一把什么样的尺子去量是有关系的。量的时候，总是把海岸线近似成折线，以折线段的长度和来作为海岸线的总长度。如果用更短的折线段来近似，那么对于海岸线形状的逼近就越好，而这样量出来的长度也就越长。海岸线的形状是一个分形图形，如果量长度的这把尺子长度趋近于零，或者说用来逼近的折线的长度趋近于零，那么得到的海岸线的总长度是趋近于无穷大的。
所以我们总是在报刊书籍里面看到，说我国拥有漫长的海岸线，海岸线的长度有多少多少公里。这样的说法，既对又不对。因为从一方面来说，按照分形的观点，我们知道海岸线的总长度是趋向于无穷的。但是从另一方面说，我们可以认为这里给出的长度，是用一把特定长度的尺子量出来的，而结果就是一个有限值。用同一把尺子，去量中国的海岸线和去量英国的海岸线，中国的就要比英国的长。
那有人问，如果用在一公里的尺度上量出来中国的海岸线长度是英国的2.3倍（我只是随便给一个比方，真正的数字肯定不是这个），那么在一百米的尺度上量出来的倍数也是个吗？十米的尺度呢？要回答这个问题，就要看中国海岸线的分形维数和英国的是不是一样。维数越高，在减小同样的尺度测量的时候，长度增长越快。
好啦，我们再来看一个有趣的例子：谢尔宾斯基海绵。前面已经讲了如何构造谢尔宾斯基海绵。从三维的角度来说，谢尔宾斯基海绵的体积是多少呢？同样的计算方法。第一次变换，我们从二十七个小正方体里面去掉了七个，体积变成原来的20/27。第二次变换，剩下的每一个小立方体的体积又变成原来的20/27，所以经过n次变换，总体积就是原来的(20/27)^n，经过无穷次变换的最终体积就是lim n→∞(20/27)^n=0。现在题目来了：如何计算谢尔宾斯基海绵经过n次变换以后的总面积？无穷次变换以后的结论已经有了，就是无穷大。好了，现在我们得到了一个怪东西，它的体积没有，也就是说不管是什么材料做的，都没有重量，但是看起来泡泡的一大块。而且有无穷大的表面积。这个东西，它比活性炭还好呀，在冰箱里放一块除味的效果一定很好。不过这个东西既然体积是零，似乎考虑是什么材料做的也没有什么意义了。说到这里，我忽然想到，所谓的皇帝的新衣，用的材料大概多半是谢尔宾斯基地毯吧？

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