【原创】数理逻辑发展的简单脉络（2） [ 泰让 ] 于:2008-01-03 18:40:41
在希腊黄金时代之后的2000年里，数学和逻辑学都在发展着，但却并没有机会再次碰撞。直到17世纪的莱布尼茨，二者才又有了互相影响的机会。



莱布尼茨

纵观数理逻辑领域内的大师们，很多是在多方面有开拓性贡献的全才，希腊时候的亚里士多德如此，后来的罗素如此，莱布尼茨也是这类的学者。他在数学上最知名的可以说是同牛顿各自独立地发明了微积分，比如我们现在微分时候使用的符号dx，就是他最先使用。但莱布尼茨的学术目标，其实比微积分更为宏大，他希望找到一套方法，可以让学者们学术交流时精确表达命题，不带歧义。甚至更甚一步，可以将逻辑演绎这件事情，完完全全地用类似算数运算的方法进行下去。莱氏的这个目标，是建立在他对人类理性思维本身可以形式化这一观点上的。因为在他眼中的宇宙各物体，都是由多种性质构成的，如果我们穷举了一物体的各个属性，我们也就描述了这个物体。如果我们可以把这些“性质”映射到数上，我们就有可能将数学作为描述世界的语言，从而演绎推理也就成了计算。

从这种意义上说，莱布尼茨是计算机理论的先驱。他甚至制作了一些可以进行自动运算的机械设备。但是，这种思维毕竟领先时代太多了，他的这方面工作并未立即引起重视，在他之后又150多年，布尔和德·摩根沿着此方向，提出了布尔代数。



德·摩根（De Morgan)
德摩根继承并发展了三段论逻辑。他的一个重要贡献是提出了连接词，也就是与、或、非。有了连接词，就可以用几个更基本的命题来表达复杂命题。这样很大程度地提高了逻辑命题的描述能力。比如，如果我们用p来代表“今天刮风”，用q来代表“今天下雨”，再用r代表“今天上课”，那么，“如果今天刮风或者下雨那么就不上课”这个命题就可以表示为
(p or q)-->(not r)
其中箭头也是一个链接词，表示如果。。。则。。。或者称为蕴含词
德·摩根更知名的是所谓德摩根律，表达成式子是这样的：
not ( p or q )=(not p) and (not q)
仍用刚刚的例子，等号左边表示的是“今天没有刮风或者下雨”，右边表示“今天没有刮风并且今天没有下雨”，两者是等价的。





乔治·布尔

布尔和德摩根是同时代的数学家，二人对数学逻辑问题应该有过讨论。布尔对逻辑的形式化更加推进了一步：如果把命题看作变量，把连接词看作运算的话，逻辑就可以转化成代数。这是一种特殊的代数：变量的值只能取{0,1}，如果我们把与，或，非用数学符号*,+,-来表示的话，这个代数有特殊规则：
0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=1
0*0=0,0*1=0,1*0=0,1*1=1
a+a=a, a*a=a
a+(-a)=1, a*(-a)=0
其他代数规则，比如交换律，结合律也成立。
(注意这里-是一元运算，并且也不是+的逆运算）
从近世抽象代数来说，这是个定义在集合{0,1}上的一个环（Ring)。

布尔发现，如果我们把0看作空集，1看作全集，a表示全集的某子集，而+，×，-分别表示集合的并，交和取补集运算的话，同样的规律也适合集合运算。不过当时集合论尚未成熟，但这预示着集合将成为数理逻辑的研究对象。

曾经有一个说法:当一门学科发展到可以运用数学作为工具的时候，就标志着这门学科变成了科学。布尔和德摩根成功地将数学引入逻辑研究中，他们也被认为是数理逻辑学科的开创者。特别是布尔代数的建立，为后世的开关电路提供了理论基础：无论多么复杂的计算机操作，最终都是分解成了由“门电路”完成的0与1的逻辑运算。为了纪念布尔，计算机编程语言中，取“真”或者“假”两种值的逻辑变量，以及逻辑表达式被命名为布尔变量和布尔表达式。

关键词(Tags): 数理逻辑 布尔 莱布尼茨 德·摩根
爱莲 荐,最后于2008-01-06 19:57:22改,共3次;