【原创】数理逻辑发展的简单脉络（1） [ 泰让 ] 于:2008-01-01 12:04:35
说明：
准备简单整理一下数理逻辑发展的简明历程，主要是为自己的阅读清理思路和总结一下，我非专业人士，仅仅是兴趣所致，估计会有不少误解和错误，欢迎有同样兴趣的朋友批评指正。

欧氏几何和亚里士多德的三段论

希腊的黄金时代，产生了亚里士多德的逻辑学和欧几里德的几何。显然，这两门学科之间一定会有某种方式的交叉。或许就是在学者们研究几何的时候，发现直觉并非一定可靠，只有推理演绎才可以得出正确的结论，从而导致了逻辑学的发展。反过来说，也可能是有了经过总结的逻辑演绎规则，才进一步推进了几何学证明的进步。


欧几里德

关于几何，特别是欧几里德几何，已经有earthcolor兄写了专文介绍。这里想补充的一点是，从现代观点看，欧氏几何是一个所谓公理化系统。也就是说整个体系首先建立了几条不可证明的公理或公设，此后的结论都由推理演绎导出，成为诸多定理。这个公理体系建立的非常漂亮，首先它很好的反应了人对空间的直觉感受，其次公理非常简洁，每一条都是缺之不可的。可能正因为如此，欧氏几何成了后来近2000年数学的主要部分，甚至牛顿在写作著名的《自然哲学的数学原理》时候，书中的证明很多仍然用的是几何的形式，而非现在常见的代数表达。当然，我相信，如此成功的体系不太可能是欧氏一人建立的，更可能是综合了诸多学者的综合成果。但《几何原本》本身的成功，却导致了其他文献的失传，我们已经比较难探明在此之前几何学发展的清晰脉络了，这是也算是一个遗憾。


亚里士多德


亚里士多德生活的时期略早于欧几里德。虽然我们中的很多人知道这个人，是因为他是同伽利略对立的错误典型，但实际上亚里士多德堪称他那个时代最伟大的学者。他的研究涉及几乎所有当时的学科领域。具体到逻辑学，亚氏的主要贡献是归纳总结了命题和推理本身的规律，这种归纳的成果就是三段论。

亚里士多德将命题总结为以下4种形式：
A)所有的P都是Q
E)没有P是Q
I)某些P是Q
O)某些P不是Q
（4种命题的代号，就是AEIO四个元音字母，是中世纪学者为了便于记忆而命名的，见下）

在此基础上，一个推演由三个命题构成（所谓三段论），其中前两个是前提，后一个是结论，比方说由三个A构成的
前提1：所有的P都是Q
前提2：所有的Q都是R
结论 ：所有的P都是R

因为这个推理是由三个A构成，后世的学者就用Barbara这个词来代表这种推理—Barbara的三个元音恰好是AAA。

当然，并非任意三个命题都能够成有效推理。亚里士多德归纳了所有成立的情况。

同欧氏几何一样，三段论一经建立，在接下来的近2000年内一直被认为是经典，天主教经院派哲学吸收了三段论的方法，并以此作为研究工具，甚至到20世纪初，仍有某些宗教学校教授此课程。

一个有趣的现象是，《几何原本》并未采用三段论的推理形式。这可能是因为在三段论中，缺乏命题链接词：如“与”“或”“因为...所以”等，而几何推理则大量充斥着类似命题。另一个原因，或许是几何术语中类似“点a在直线l上”的命题，实际上涉及了两个对象：点a和直线l。要比较好的描述这种关系，需要二元的谓词P(a,l)，单纯的原子谓词很难对此作方便自然的描述。这需要等到19世纪布尔等人的工作才得以实现。

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